Número Ouro 3

Demos uma procurada e achamos algumas derivações da palavra NÚMERO OURO. Aí vão elas:

~ Proporção áurea;
~ Número de ouro;
~ Número áureo;
~ Proporção de ouro;
~ Seção áurea;
~ Razão áurea;
~ Razão de ouro;
~ Média e Extrema razão;
~ Divina seção;
~ Divina proporção;
~ Proporção em extrema razão;
~ Divisão de extrema razão
~ Razão de Phidias;
~ Áurea excelência.

Proporção áurea na natureza

Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano e no universo.
Este número, assim como outros, por exemplo o Pi, estão presentes no mundo por uma razão Matemática existente na natureza.
Essa sequência aparece na natureza, no DNA, no comportamento da refração da luz, dos átomos, nas vibrações sonoras, no crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.

Fractais

Curiosidades:

Fractais fazem parte de um ramo da matemática que se chama geometria fractal. Ela serve para configurar algumas situações que não conseguem ser explicadas pela geometria considerada clássica. As fractais são aplicadas em ciências tecnológicas e em arte feita pelos computadores.

A geometria euclidiana apresenta falhas para fazer algumas medições. Nesse caso é aplicada a geometria fractal. O fractal pode ser dividido em partes. Todas essas partes são semelhantes ao objeto original do estudo. Um fractal  pode aparecer em processos repetidos ou interativos. Normalmente eles são auto-similares e não são dependentes de escala.

Número Ouro

O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618.
Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega
de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na
natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais
importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina. Se quiséssemos dividir um
segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe
uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma
operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o
matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:

“Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."



Fonte : http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070113143532AA2JIyM

http://www.debatesculturais.com.br/a-proporcao-aurea/

Fractais 2

Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:

• Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regra fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.
• Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.
• Fractais aleatórios, gerados por processos estocasticos dterminísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Levy.

Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua autossimilaridade .Eistem três tipos de autossimilaridade encontrados em fractais:

• Autossimilaridade exata: é a forma em que a autossimilaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma autossimilaridade exata.
• Quase-autossimilaridade: é uma forma mais solta de autossimilaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-autossimilares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-autossimilares, mas não exatamente autossimilares.
• Autossimilaridade estatística: é a forma menos evidente de autossimilaridade. O fractal possui medidas númericas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam alguma forma de autossimilaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem autossimilaridade estatística, mas não são exatamente nem quase autossimilares.

Entretanto, nem todos os objetos autossimilares são considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo, é exatamente autossimilar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real representam propriedades complexas e não repetitivas.

Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.

Simetria 3

Pra você entender melhor o que é e onde é usada a simetria  nós do setemetria.com decidimos postar algumas fotos para você entender e compreender melhor tudo isso.

-Eixo de simetria:
      

                                     

-Simetria axial:

-Simetria radial:

-Simetria bilateral:

 

-Simetria do rosto:

-Simetria central:

Fonte:google(imagens).

Simetria 2

Os quatro tipos de simetrias no plano

Um modelo é simétrico se houver ao menos uma simetria
(rotação, transtação, reflexão, reflexão do deslize)
que não muda o modelo .

Rotação

Rotacionar um objeto significa girá-lo ao redor de um ponto. Cada rotação tem um centro e um ângulo.

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Translação

Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refletir. Cada translação tem um sentido e uma distância.

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Reflexão

Refletir um objeto significa produzir sua imagem no espelho. Cada reflexão tem um eixo "a linha do espelho". Uma reflexão de um " R " é um R para trás.

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Reflexão com Deslizamento

Uma reflexão com deslizamento combina uma reflexão com uma translação ao longo do sentido da linha do espelho. As reflexões com deslizamento são os únicos tipos de simetria que envolvem mais de uma etapa.

As simetrias críam modelos que nos ajudam a organizar o nosso mundo conceitualmente. Os modelos simétricos ocorrem na natureza, são inventados por artistas, por músicos, por coreógrafos, e por matemáticos.
Na matemática, a idéia da simetria dá-nos uma maneira precisa de pensar sobre este assunto. Nós trabalharemos aqui só com simetrias planas, aquelas que ocorrem em um plano liso, mas as idéias generalizam às simetrias espaciais .
A simetria plana consiste em mover todos os pontos sobre o plano de modo que suas posições relativas permaneçam as mesmas, embora suas posições absolutas possam mudar. Distâncias, ângulos, tamanhos, e forma são preservadas por simetrias.

1. Por exemplo, a rotação de 90 graus sobre um ponto fixo é um exemplo de uma simetria plana.
2. Um outro tipo básico de simetria é uma reflexão. A reflexão de uma figura no plano em relação a uma reta move sua imagem refletida para onde apareceria se você a visse através de um espelho colocado na linha. Uma outra maneira de fazer uma reflexão é dobrar uma folha de papel e seguir a figura no outro lado da dobra.
3. Um terceiro tipo de simetria é a translação. Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refleti-lo. Você pode descrever uma translação indicando a que distância vai mover oobjeto, e em que sentido.
4. O quarto (e último) tipo de simetria é uma reflexão com deslizamento. Uma reflexão com deslizamento combina uma reflexão com uma translação ao longo do sentido da linha do espelho.

Fonte: http://homes.dcc.ufba.br/~frieda/pedagogiadeprojetos/conteudos/mosaicopronto/osquatro.htm

Fractais

O que são? 

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não Euclidiana.

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais.

Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original.

Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente consimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.

Portanto, não são objetos definíveis pela geometria tradicional. Isso quer dizer que os fractais tendem a ter detalhes significantes, visíveis sob qualquer ponto de vista, ou seja, suas variações visuais são perfeitamente mensuráveis.

conjunto de Mandelbrot

Classificação:

Aquela onde cada ponto do gráfico pode ser determinado pela aplicação interativa de uma função simples (Exemplos são o conjunto de Mandelbrot, o fractal de Lyapunov e o fractal do navio queimando); 

Aquela onde existe uma regra de substituição geométrica (Exemplos incluem a poeira de Cantor, o triângulo de Sierpinski, a esponja de Menger e o floco de neve de Koch); 

Aquela criada com sistemas fractais interativos (Exemplo, as chamas fractais); 

Aquela gerada por processos com razão aleatória, em vez de processos deterministas (Como as paisagens fractais)

Onde é usado?

Arte fractal é a criada utilizando-se funções matemáticas chamadas fractais e transformando os resultados dos cálculos em imagens, animações, música ou outro tipo de mídia. Imagens fractais são os gráficos resultante dos cálculos, e animações são seqüências desses gráficos. Música fractal transforma os resultados do cálculo em sons. Geralmente, mas não exclusivamente, utilizam-se computadores para processá-los, devido à complexidade da matemática envolvida. 

História:

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza.

A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico.

Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir dosanos 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal

*obs: haverá uma segunda postagem sobre isso.

Número Ouro

O que é o número de ouro?

O Número de Ouro  é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo.

A designação adaptada para este número, f (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e arquiteto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.


História:

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea : A razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou seção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade . 


Onde é usado o número ouro?

É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi π), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.



fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm
         http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100218163045AAIkuOQ

Simetria

O QUE É SIMETRIA?

      

A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos. Ainda que dois objetos semelhantes pareçam o mesmo, eles são, logicamente, diferentes. De fato, a simetria refere-se mais a semelhanças que a igualdades.

 ONDE É USADA?

A simetria ocorre ou é aplicada em várias das vertentes da ação humana: na geometria, matemática, física, biologia, arte e até na literatura (nos palíndromos), etc.

A simetria está presente no cotidiano e na natureza. Seja nas asas de uma borboleta ou numa simples folha de árvore.

SIMETRIA NA GEOMETRIA

Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma em torno de uma determinada linha reta (eixo), ponto ou plano. Se, ao rodarmos a figura, invertendo-a, ela for sobreponível ponto por ponto (segundo os princípios da geometria euclidiana), ela é simétrica. Para a maioria das pessoas, a ideia de simetria está ligada mais a pensamentos sobre arte e natureza do que sobre matemática. De fato, nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetria, e simetrias são encontradas por todo o mundo.Dada uma imagem, a sua simétrica preservará o comprimento e o ângulo, mas nem sempre mantém a direcção e sentido das várias partes da figura.

SIMETRIA NA FÍSICA

 Na Física, o conceito de simetria é amplamente utilizado em vários campos. Para além da simetria espacial podemos considerar a simetria no tempo, a simetria da paridade, etc. No entanto, a aplicação mais frutífera deste conceito está presente no teorema de Noether, que faz corresponder a cada simetria (aqui chamada de invariância) em Física uma lei de conservação. É por isso que a Teoria dos Grupos se tornou uma das áreas da matemática mais estudadas pelos físicos. A quebra espontânea de simetria nas transformações dos grupos de simetria é muito utilizada nesta ciência com o intuito de explicar fenómenos ligados à Física das partículas e à cosmologia.

SIMETRIA NA BIOLOGIA

Simetria é a divisão imaginária de um ser vivo em partes semelhantes externamente. Os animais e plantas podem ser assimétricos, ter simetria radial (quando planos longitudinais, que passem pelo centro do corpo, dividem o animal em partes iguais) e ter simetria bilateral (quando há apenas um plano que divida o corpo em duas metades iguais).

SIMETRIA NA ARTE

Os objetos, os animais, os vegetais, os minerais e as pessoas que estão a nossa volta podem ser classificados quanto à forma em:Simetria e assimetria. A) Simétricos são os que, divididos por um eixo ventral, tem um lado perfeitamente igual ao outro eixo de simetria é a linha que divide as formas em metades iguais.Na simetria real ou bilateral as duas metades são exatamente iguais. Na simetria radial todas as retas passam por um centro ou se irradiam do centro para para as extremidades, por exemplo, as rodas de bicicletas e a estrela do mar todas as formas são simetricas. B) Não simétricos os lados não possuem eixo central, portanto um lado não é igual ao outro. 

 

ARQUITETURA

Na arquitetura a simetria foi sempre uma das constantes nos projetos e desenhos. Encontramos exemplos disseminados por toda a parte: em Monticello (Estados Unidos), na torre inclinada de Pisa (Itália), na Ópera de Sydney (Austrália), no Paço dos Duques (Guimarães, Portugal), no Panteão (Grécia), nos arcos românicos e góticos, nas rosáceas…

A simetria tanto tem sido aplicada a toda planta da construção quanto no desenho de outros elementos e detalhes do edifício.

Fonte: wikipédia

google (imagens)